Relación entre los ángulos y la circunferencia. Arco capaz

Ángulos en la circunferencia

(Fuente) Se pueden sistematizar varios tipos de ángulos en base a la posición relativa que éstos adopten respecto de una circunferencia:

A. Ángulo central

Este ángulo tiene su vértice en el centro de la circunferencia, su medida es la del arco de circunferencia que sus lados abarcan. AOB. FIG. 34.

B. Periféricos

Son los que tienen su vértice en la circunferencia, se pueden distinguir:

Inscrito: Vértice A en la circunferencia y ambos lados secantes a la misma, BAC. Su valor es igual a la mitad del central comprendido entre sus lados BOC. (BAC = BOC/2). FIG. 35.

Seminscrito: Vértice A en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente, BAC. Su valor es igual a la mitad del arco de circunferencia comprendido entre sus lados [1] (central AOC). (BAC = AOC/2). FIG. 36.
Podéis recordar la demostración aquí.

Exinscrito: Vértice A en la circunferencia y formado por una cuerda y la prolongación de la otra, BAC. (Ambos lados secantes, uno interior o inscrito y el otro exterior). Su valor es 180º menos el valor del inscrito CAD. (BAC = 180º-CAD). FIG. 37.

C. Interiores

Vértice A en el interior de la circunferencia y lados secantes BAC. Su valor es la semisuma de los ángulos centrales comprendidos entre sus lados, BOC y DAE. (BAC = BOC/ 2 + DOE/2). FIG. 38.

D. Exteriores

Vértice A fuera de la circunferencia, lados secantes, CAE. Su valor es la semidiferencia de los centrales comprendidos entre sus lados, BOD y ECO. (CAE = BOD/2-ECO/2). FIG. 39.

Aplicaciones

La aplicación más extendida de los ángulos de la circunferencia es el arco capaz:

Definición de Arco Capaz

Arco capaz es el Lugar Geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ven los extremos de un segmento desde un mismo ángulo.

Trazado de arco capaz

Se pide que traces el arco capaz de 30º del segmento AB:

Existen dos soluciones simétricas. Observa el siguiente ejercicio para un ángulo de 60º:

Para encontrar la segunda, dibuja sencillamente un arco con centro en M y radio M-O que cortará a la mediatriz m en el punto O’:

Como puedes observar, desde cualquier punto de ambos arcos de circunferencia se ven los extremos A y B del segmento con un ángulo de 60 grados.
Is dejo un vídeo sobre la demostración gráfica de arco capaz y demostraciones de ángulos en la circunferencia.
Mi recomendación para estudiar esta parte es que utilicéis Geogebra para demostraros, tanto visualmente como de manera algebraica las construcciones y casos que acabamos de ver:

EJERCICIOS

Ahora practica dibujando el arco capaz de 75º, 45º, 90º y 120º.

APLICACIONES DEL ARCO CAPAZ

Además de ser usado para resolver problemas de lugares geométricos, tiene especial utilidad como herramienta para demostrar teoremas clásicos de la geometría métrica. (Fuente: Piziadas)

Aplicación a construcciones geométricas

El arco capaz de mayor interés es el de 90 grados, es decir, el del ángulo recto. Este lugar geométrico es de gran uso en la resolución de problemas básicos de tangencias y posteriormente se usará en relaciones armónicas.
Como la tangente y el radio que pasa por el punto de contacto son ortogonales, podemos usar el arco capaz de 90 grados para determinar la tangente desde un punto a una circunferencia. Simplemente determinaremos un arco capaz (semicircunferencia) entre el punto desde el que queremos trazar la tangente y el centro C de la circunferencia a la que debe ser tangente la recta. El punto T de intersección será el punto de tangencia buscado.

Aplicación en demostraciones

Las demostraciones de teoremas en las que aparecen ángulos rectos son en las que el arco capaz de 90 grados tiene aplicación inmediata. Por ejemplo, un teorema clásico es:

"El ortocentro de un triángulo es el incentro de su triángulo órtico"

El ortocentro es el punto de intersección de las alturas del triángulo ABC, rectas que pasan por un vértice y por el pie de la perpendicular al lado opuesto (H). Este punto se encuentra por tanto en la intersección de dos arcos capaces.
El triángulo órtico es el que pasa por los pies de las alturas, y su incentro es el punto de intersección de las bisectrices.
A partir de la figura se puede deducir el teorema anterior, simplemente demostrando que los ángulos marcados son iguales al estar en arcos capaces sobre un mismo segmento en las diferentes circunferencias que se muestran.

PROBLEMAS

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

• Deducir razonadamente el valor del ángulo  marcado en la figura sabiendo que ésta representa un pentágono regular estrellado. (Solución)

• Deducir razonadamente el valor de los ángulos a y ß indicados en la figura, que representa un polígono estrellado de 9 puntas, con los ángulos alternos iguales. (Solución)

• Deducir razonadamente el valor del ángulo  marcado en la figura. Solución

Realiza todos los ejercicios propuestos de la página 2 y 3 del profesor Macho Martínez.

ARCO CAPÁZ

1. Fotocopias de ejercicios Arco capaz de Anabel Sanchez. Pincha para ver las Soluciones.
2. Problemas de barcos
3. Árco capaz en PAU
4. Dibuja un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de sus catetos.
5. Determinar un punto P desde el que se observe bajo el mismo ángulo a los tres lados de un triángulo ABC. Desde Mongue.
6. Determinar dos rectas que se apoyen en un punto P exterior a una recta r, formen entre sí un ángulo “alfa” dado y corten a la recta según un segmento de longitud “L”.
7. Obtener el punto D, desde el cual se verá el segmento AB bajo un ángulo de 45º y el segmento BC bajo un ángulo de 67,5º. (Alicante, PAU, junio 2003)
8. PAU Madrid junio 2001. Dibuja un triángulo rectángulo que tenga su hipotenusa contenida en la recta r, un cateto debe pasar por P y otro por Q y que la altura correspondiente a la hipotenusa debe valer 35 mm. Solución.
9. Ejercicios triángulos resueltos.

1. Construir un triángulo conocido el lado a = 70 mm, el ángulo opuesto  = 60° y el punto P, perteneciente a la bisectriz del ángulo Â, que dista 36 mm del vértice B y 54 mm del vértice C.
2. Trapezoide ejercicios solucionados.
3. Dado un diámetro MN de una circunferencia O y dos puntos A y B sobre ella en su parte superior, hallar en la parte inferior de la circunferncia un punto P tal que las rectas PA y PB corten al diámetro en dos puntos C y D a un mismo lado de O de modo que: OC/OD = p/q. (Ejercicio paso a paso).

ENLACES DE INTERÉS:

• Ángulos en la circunferencia. Por Jose Manuel Arraz en la web "Geometría dinámica"
• Os dejo esta estupenda presentación del profesor Juan Díaz Almagro,  donde podéis recorrer todas las construcciones fundamentales y sus aplicaciones más inmediatas, incluida el arco capaz.

TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO. DIBUJO TÉCNICO 2º BACH de JUAN DIAZ ALMAGRO