Proporcionalidad I. Operaciones con segmentos

PROPORCIONALIDAD

Es la relación que existe entre 2 figuras de igual forma y distinto tamaño.

También se llama figuras semejantes. Los ángulos son iguales y los lados proporcionales. 

Los polígonos regulares y las circunferencias siempre son semejantes.

Dos triángulos son semejantes cuando tienen:

• Los tres lados proporcionales
• Los tres ángulos iguales
• Dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

Proporcionalidad

Conformidad, correspondencia y equilibrio de unas partes con el todo o de cosas relacionadas entre sí

Razón (K)

Dados 2 segmentos a y b, la razón es la relación entre las longitudes de ambos segmentos.
Dados 4 segmentos (a, b, c y d) tomados dos a dos, se dice que son proporcionales si las razones son iguales (Fig.1). a/b=c/d. Se denominan medios: b y c. Son extremos: a y d.

Proporción geométrica

Es la igualdad de dos razones. Se representa por a/b=c/d, que se lee "a es a b como c es a d".

DOS TIPOS DE PROPORCIONALIDAD:

Al comparar dos segmentos podemos encontrar que sean iguales cuando al superponerlos coinciden. La igualdad es una proporción de razón 1.

En el caso que sean diferentes se puede establecer una relación de proporcionalidad. 

Proporcionalidad directa o magnitudes directamente proporcionales

Son las que aumentan o disminuyen guardando la misma relación.
Dos magnitudes son directamente proporcionales si varían de tal forma que su razón permanece constante. a/b=a’/b’=a”/b”=… = K.

Proporcionalidad inversa o magnitudes inversamente proporcionales

Son magnitudes que cuando una aumenta la otra disminuye en igual proporción.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si varían de tal forma que su producto permanece constante. a·b=a’·b’=a”·b”=… = K
La proporcionalidad inversa se puede expresar como:

TEOREMA DE TALES

Descubre algo de este interesante personaje aquí.

Si un haz de rectas paralelas cortan a 2 rectas concurrentes (Fig.2), los segmentos resultantes sobre la recta r son proporcionales a los determinados sobre la recta s. Son directamente proporcionales. AB/A’B’=BC/B’C’. También se cumple: AB/BC=A’B’/B’C’

Veamos la demostración gráfica  del Teorema de Tales  en uno618, gracias al programa Geogebra.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES

División de un segmento en partes iguales

A partir de un extremo de un segmento, se traza una semirrecta sobre la que se marcan tantas divisiones iguales como partes en las que se quiera dividir el segmento. Unimos el último punto con el extremo del segmento y se trazan paralelas a esta recta por las divisiones obtenidas quedando así el segmento dividido en partes iguales.

División de un segmento en partes proporcionales

Se procede del mismo modo pero ahora las divisiones no son iguales. Las divisiones así obtenidas en el segmento mantendrán la misma proporción entre ellas que las dibujadas en la semirrecta trazada.

Cuarto proporcional a tres segmentos

Dados tres segmentos a, b y c, se denomina cuarta proporcional al segmento x, si éste cumple que: a/b=c/x.

APLICACIÓN: Producto de dos segmentos

Fuente: wiki "Rincon de Artes y Dibujo"

Tomamos un segmento como unidad, por ejemplo el c.

Basándonos en la cuarta proporcional:

• a . b = x
• a . b = x . c siendo c = 1
• a/c = x/b c/a = b/x

APLICACIÓN: División entre dos segmentos

Fuente: wiki "Rincon de Artes y Dibujo"

Basándonos en la 4ª proporcional y a partir de dos segmentos dados, a y b, tomamos un segmento como unidad, por ejemplo el c.

a/b = x
a/b = x/c siendo c = 1
Luego b/a = c/x

Tercera proporcional a dos segmentos dados

Dados dos segmentos a, y b, se denomina tercera proporcional al segmento x, si éste cumple que:

a/b=b/x

APLICACIÓN: CUADRADO DE UN SEGMENTO

Fuente: wiki "Rincon de Artes y Dibujo"

Nos basamos en la 3º proporcional y además tomamos un segmento c como unidad.

a . a = x
a . a = x . c siendo c = 1
Luego a/c = x/a ó           c/a = a/x

EJERCICIOS

1. Dibuja la figura del croquis con los datos indicados sabiendo que a/a´=b/b´. 

2. Otra figura.

3. Ejercicios de tercera y cuarta proporcional.

4. Cuadernillo de ejercicios por Anabel Sanchez. Soluciones 1 y soluciones 2.

PROBLEMAS

1. Dado el segmento a= 39 mm, halla el segmento b de manera que a/b=16mm. Solución

2. Realizar gráficamente esta operación d=(c.d)/a. Solución

3. Determinar los segmentos raíz cuadrada de 5 y raíz cuadrada de 6. Solución

4. Determinar

 . Solución

5. Dado el triángulo equilátero OAB de lado 20 mm y la circunferencia de centro O que pasa por A y B, dibuja en la circunferencia dada una cuerda de modo que quede dividida en tres partes iguales por los radios OA y OB. Solución.

6. Sobre una recta r en la que se dan los puntos A y B, situar un punto X, tal que la distancia de X a A sea el triple que de X a B.

PROPORCIONALIDAD Y TRIÁNGULOS

1. El segmento MN= 80mm es el lado de un triángulo MNP del que se sabe que el ángulo en P es 60° y que la altura de dicho vértice es media proporcional entre el lado MN dado y el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. Dibuja las soluciones posibles. Solución

APUNTES

• Apuntes de Anabel Sanchez
• Demostraciones visuales con Geogebra en la web uno618.
• Extraídos de ÁREA DE DIBUJO. ES (Andalucía):
  
  • Operaciones con segmentos 1:
  • Suma, resta, división en partes iguales y división en partes proporcionales.

Entradas de Interés:

• wiki "Rincon de Artes y Dibujo"
• Introducción a la Geometría métrica y sus unidades didácticas. Web PIZIADAS.
• Geometría métrica y teorema de Pitágoras en la web PIZIDAS. Una visión muy interesante de todo lo que hemos visto en esta entrada desde un ángulo diferente, empezando con Pitágoras.
• En la misma página Teoremas de la altura y el cateto.
• Teorema de la altura y teorema del cateto Geogebra.