Ángulos en la circunferencia y Arco capaz

En geometría métrica hay dos conceptos de medida sobre los que se basa su modelo axiomático: medidas lineales y medidas angulares.
La medida lineal se apoya en el teorema de Pitágoras y la relación entre este tipo de medidas en el teorema de Thales.
La medida angular la expresamos a partir de relaciones sobre una circunferencia y junto a las anteriores permiten describir la magnitud de las figuras geométricas. (Explicación extraída de Piziadas).

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Se pueden sistematizar varios tipos de ángulos en base a la posición relativa que éstos adopten respecto de una circunferencia:

Pincha sobre la imagen para acceder al gráfico interactivo ( Javier Cayetano Rodríguez)


Puedes ver la demostración aquí del valor de cada uno de los ángulos.

En este curso los ángulos que nos interesa conocer y saber relacionar con el el ángulo central son el inscrito y el semiinscrito.

Con el siguiente gráfico quiero que compruebes que el ángulo semiinscrito es un caso límite del ángulo inscrito. Desplaza el punto P hacia A o hacia B para visualizar la transformación de inscrito a semiinscrito. También puedes modificar los puntos A y B para modificar los valores de los ángulos.

ARCO CAPAZ

La relación entre el ángulo inscrito y el ángulo central en una circunferencia permite obtener un lugar geométrico de gran importancia por sus numerosas aplicaciones en la geometría métrica; este lugar geométrico se denomina arco capaz.

Los puntos de una circunferencia que son vértices de triángulos cuya base común es una cuerda de la circunferencia tienen la propiedad de tener asociado en ese vértice un mismo ángulo, que se corresponde con la mitad del ángulo central que abarca dicha base.

Esta propiedad permite enunciar la definición del lugar geométrico denominado Arco capaz sobre un segmento.

Arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo α dado es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo V.

CONSTRUCCIÓN DE ARCO CAPAZ

El punto V observa al segmento AB (cuerda de la circunferencia) bajo un determinado ángulo V. Al desplazarse sobre dicha circunferencia el ángulo permanece invariante.

Los segmentos VA y VB varian por tanto en longitud, pero no el ángulo que forman. Este concepto permite determinar una construcción elemental para, dado el segmento AB y el ángulo alfa, determinar el centro de la circunferencia descrita.

Si el punto V se desplaza hasta coincidir con el punto A, el segmento BV se convierte en el AB, y el segmento BV se convierte en la tangente a la circunferencia, por lo que la tangente en B forma alfa grados con el segmento AB.

La tangente y el radio que pasa por el punto de contacto son ortogonales.

Gráfico interactivo de uno618

Para construir el arco capaz, o determinar la circunferencia, simplemente determinaremos su centro como intersección de la mediatriz de AB con la recta perpendicular a la tangente en A (que determinaremos previamente).

PRACTICA ESTOS CONCEPTOS USANDO GEOGEBRA

EJERCICIOS:

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

• Deducir razonadamente el valor del ángulo  marcado en la figura sabiendo que ésta representa un pentágono regular estrellado. (Solución)

• Deducir razonadamente el valor de los ángulos a y ß indicados en la figura, que representa un polígono estrellado de 9 puntas, con los ángulos alternos iguales. (Solución)

• Deducir razonadamente el valor del ángulo  marcado en la figura. Solución

Realiza todos los ejercicios propuestos de la página 2 y 3 del profesor Macho Martínez.

ARCO CAPÁZ

1. Fotocopias de ejercicios Arco capaz de Anabel Sanchez. Pincha para ver las Soluciones.
2. Problemas de barcos. 
3. Avión caído en Mar del Plata.
4. Barco en geogebra por Esther Alonso.
5. Barco B en posición desconocida.
6. Árco capaz en PAU
7. Árco capaz en el fútbol.
8. Dibuja un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de sus catetos (Monggue).
9. Determinar un punto P desde el que se observe bajo el mismo ángulo a los tres lados de un triángulo ABC. Desde Mongue. Desde geogebra.
10. Determinar dos rectas que se apoyen en un punto P exterior a una recta r, formen entre sí un ángulo “alfa” dado y corten a la recta según un segmento de longitud “L”.
11. Obtener el punto D, desde el cual se verá el segmento AB bajo un ángulo de 45º y el segmento BC bajo un ángulo de 67,5º. (Alicante, PAU, junio 2003)
12. PAU Madrid junio 2001. Dibuja un triángulo rectángulo que tenga su hipotenusa contenida en la recta r, un cateto debe pasar por P y otro por Q y que la altura correspondiente a la hipotenusa debe valer 35 mm. Solución.
13. Ejercicios triángulos resueltos.

1. Construir un triángulo conocido el lado a = 70 mm, el ángulo opuesto  = 60° y el punto P, perteneciente a la bisectriz del ángulo Â, que dista 36 mm del vértice B y 54 mm del vértice C.
2. Trapezoide ejercicios solucionados.
3. Dado un diámetro MN de una circunferencia O y dos puntos A y B sobre ella en su parte superior, hallar en la parte inferior de la circunferncia un punto P tal que las rectas PA y PB corten al diámetro en dos puntos C y D a un mismo lado de O de modo que: OC/OD = p/q. (Ejercicio paso a paso).

ENLACES DE INTERÉS:

• Os dejo esta estupenda presentación del profesor Juan Díaz Almagro,  donde podéis recorrer todas las construcciones fundamentales y sus aplicaciones más inmediatas, incluida el arco capaz.

TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO. DIBUJO TÉCNICO 2º BACH de JUAN DIAZ ALMAGRO