lunes, 2 de enero de 2017

Cónicas I. Elipse

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1. LA ELIPSE: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES

Puedes seguir estudiando todos estos conceptos desde la estupenda página elaborada por José Antonio Cuadrado: Curvas Cónicas.

1.1. Definición: 

La elipse es una curva plana y cerrada que se define como el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a otros dos fijos es constante e igual a 2a, siendo AB=2a la longitud del eje mayor. Los puntos fijos F y F´ son los focos.

1.2. Elementos y propiedades más importantes:


  • Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva.
  • El eje AB se llama eje real y se representa por 2a (AB).
  • El eje menor CD se representa 2b.
  • Los focos están en el eje real.
  • La distancia focal F F´ se representa por 2c.
  • Entre a, b y c existe la relación: a2=b2+c2
  • Es simétrica respecto a los dos ejes y por tanto respecto al centro O.
  • Las rectas que unen un punto P de la curva con los dos focos se llaman radios vectores. Por la definición se verifica que: r + r´= 2a
  • La circunferencia principal de la elipse es la que tiene por centro O y radio a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes.




  • Las circunferencias focales tienen por centros los focos y radio 2a (AB).
  • La elipse se define también como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otros foco.



  • Si tenemos un diámetro de la elipse, el diámetro conjugado con él es el lugar geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas paralelas al primero.
  • Los ejes son dos diámetros conjugados y los únicos que son perpendiculares. En la circunferencia todas las parejas de diámetros conjugados son perpendiculares.

2. CONSTRUCCIÓN

2.1. Elipse por puntos dados los ejes


2.2 Elipse como proyección paralela oblicua de una circunferencia (figura afín), o sección oblicua de un cilindro.

Construcción paso a paso en la siguiente presentación del blog PlasticaVegadeo

2.3 OTRO PROCEDIMIENTO: Elipse como proyección ortogonal de una circunferencia sobre un plano.

Ver vídeo

2.4. Elipse por haces proyectivos dados los ejes


2.5. Determinación de los ejes de una elipse dados sus diámetros conjugados.



Los diámetros conjugados son aquellos que corresponden a la proyección de dos diámetros de la circunferencia que se cortan perpendicularmente.






MÉTODO MANNHEIM









Si R1 y P1 corresponden a extremos de diámetros perpendiculares en la circunferencia, sus homólogos R y P en la elipse serán extremos de diámetros conjugados.














Para determinar los ejes mayor y menor dados sus diámetros conjugados observamos los ángulos alfa y beta en los dos triángulos R1, R, R2 y P1, P, P2. Estos ángulos son iguales por tener lados recpectivamente perpendiculares entre sí.

Vamos a practicar giro de 90º para hacer coincidir R1 con P1.



2º OTRO MÉTODO: DADOS LOS DIÁMETROS CONJUGADOS, OBTENCIÓN DE LA ELIPSE CONSIDERÁNDOLA COMO PROYECCIÓN OBLICUA DE UNA CIRCUNFERENCIA


Se partirá de una circunferencia de diámetro AB, coplanaria  a la elipse y se unirá un extremo de su diámetro D' con D, obteniendo así la dirección (de afinidad) entre la circunferencia y la elipse. Queda, también, definido el triángulo OD'D. Tomando otros de la circunferencien y construyendo triángulos semejantes al primero y de lados paralelos, se obtendrán los vértices  que corresponden a los puntos de la elipse buscada.

3º MÉTODO GENERAL



2.4. Elipse por envolventes.

Vídeo doblando papel
Esta construcción se basa en que la circunferencia principal de diámetro 2a y centro O es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por cada foco a las tangentes.

Por ejemplo, se toma un punto cualquiera P de la circunferencia principal, se une con F y se traza la perpendicular por P a la recta FP. La recta trazada es la tangente a la elipse. Repitiendo este procedimiento en diferentes puntos de de la circunferencia principal, se obtienen diferentes tangentes que van envolviendo la curva.

3. RECTAS TANGENTES A LA ELIPSE

3.1. Tangente por un punto P de la elipse



La tangente a la elipse en el punto P es la recta t, bisectriz de los radios vectores de ese punto.
La normal a la curva en el punto P es la recta n, perpendicular a la tangente.







3.2 CIRCUNFERENCIAS FOCALES

Ver en geogebra
El simétrico de F respecto de la tangente ocupa la posición F1 sobre la prolongación del otro radio vector. Ahora bien, la distancia.
F'F1 = PF' + PF1 = PF' + PF

Pero

PF' + PF = AA '= K

Luego,

F'F1 = K = AA'
Lo que permite enunciar que: 

La circunferencia con centro en un foco y radio igual al eje mayor, es el lugar geométrico de los simétricos del otro foco respecto de las tangentes. Se denomina circunferencia focal.

3.3 Tangente a la elipse por un punto exterior

Ver en geogebra

Recomiendo ver el gráfico de uno618

3.4 Tangentes a una elipse paralelas a una dirección dada.





Las perpendiculares trazadas por F a la dirección d determina sobre la circunferencia focal (de F') los puntos F1 y F1', simétricos de F respecto de las tangentes pedidas.

Se trazan las mediatrices de los segmentos FF1 y FF1' que son las tangentes buscadas.
Los puntos de tangencia T y T', se determinan uniendo respectivamente los simétricos F1 y F1' de F con el otro foco F'.

Ver gráfico de uno618

EJERCICIOS

  1. Dadas dos focos y una tangente de una elipse, determinar los ejes y el punto de tangencia.
  2. Dadas tres rectas tangentes a una elipse y un foco, determinar el otro foco y los puntos de tangencia.
  3. Dada dos tangentes de una elipse, un punto de tangencia y un foco, determinar los ejes de la elipse. 

4. CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL

Geogebra

Si trazamos las circunferencias focales, una tangente y los simétricos de los focosF1, F1' respecto de la tangente sobre la circunferencia focal correspondiente, se observa que en el triángulo F'F1'F, M' es punto medio del lado F'F1'. También O lo es del F'F, en consecuencia,OM' será paralela media, su lungitud valdrá 1/2 de FF' y siendo

FF1' = K =AA'; OM' = 1/2 FF1'

Se llega a la conclusión:

OM' = 1/2 K = 1/2 AA' = OA

Además F'M' es perpemdicular a la tangente, t, podrá enunciarse que:

Los pies de la perpendiculares trazadas a las tangentes desde los focos, están situados sobre una circunferencia de centro O y radio igual al semieje mayor.

 Dicha circunferencia se denomina principal y es, por tanto el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la elipse.

Ver uno618

4.1 Tangentes a la elipse desde un punto exterior utilizando la circunferencia principal.

Geogebra






Puesto que el pie de la perpendicular, M, (M'), deben de estar sobre la circunferencia principal, trazando la circunferencia de diámetro PF, lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados pasan por P y F, quedará determinada la tangente, t y t' buscadas.

Situando el simétrico de F, F1 y F1' respecto de la tangente y uniendo estos puntos con F' se obtendrán los puntos de tangencia T y T' buscados.



4.2 Tangentes a la elipse paralelas a una dirección dada utilizando la circunferencia principal.

Geogebra










La perpendicular a la dirección dada, lo será también a las tangentes pedidas. De esta foma quedarán determinados los puntos M y M' una vez trazada la circunferencia principal.

Los puntos de tangencia se encuentran donde se une el foco con los simétricos del otro foco.

5. INTERSECCIÓN DE RECTAS CON LA ELIPSE

Si recordamos la definición de elipse que anotamos más arriba:

La elipse se define también como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otros foco.
Comprueba en geogebra

Puedes ver esta propiedad en la web de Jose Antonio Cuadrado
Sea una recta r y una elipse dada por sus elementos, focos y vértices; los puntos de intersección que buscamos pertenecen a la elipse y por ello son los centros de las circunferencias tangentes a una de las circunferencias focales y que pasan por el otro foco. El problema se reduce a encontrar dichos centros.
Ver problema nº 4 resueltos por potencia


Geogebra
Para ello, se traza la circunferencia focal con centro en F'.

Se halla el simétrico de F, F1'. La circunferencia que buscamos ha de pasar por estos puntos y ser tangente a la focal.

Se traza una circunferencia auxiliar cualquiera con centro en la recta r, O' y que pasa por F y F1'.

Esta circunferencia corta a la focal en los puntos C y D.
La cuerda CD y la recta F1'F se cortan en el centro radical Cr.

Se trazan las tangentes a la focal y los puntos de tangencia T1 y T2 se unen con F, por lo que encontramos los puntos de intersección I1 I2, que son los puntos donde la recta corta a la elipse y a la vez los centros de las circunferencias tangentes a la focal en F' y que pasan por el otro foco F.

6. TRAZADO DE RECTAS DIRECTRICES

De Marinero Vakulinchuk - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0, Enlace

Trazamos una perpendicular al diámetro mayor por un foco hasta la circunferencia principal, dibujamos por el punto de corte una tangente a dicha circunferencia; en el lugar donde esa tangente encuentra la prolongación del diámetro mayor está la directriz, que es perpendicular al diámetro mayor. (wiki)


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