Tangencias III. Inversión. Aplicación a la resolución de tangencias

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5. RECTA Y CIRCUNFERENCIA INVERSA

En el primer capítulo de" Inversión I: Definición y propiedades", uno de los últimos capítulos del tema es la figura inversa de una recta.

Recordamos:

• La figura inversa de una recta (que no pase por O) es una circunferencia que pasa por el centro de inversión.
• Recíprocamente la figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta.

Conociendo esto podemos enunciar que: 

Dadas una recta y una circunferencia pueden considerarse inversas en dos inversiones, una positiva y otra negativa, cuyos centros de inversión son los extremos del diámetro perpendicular a la recta.

6. TANGENTE EN UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA INVERSA DE UNA RECTA

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La tangente t, en un punto B de una circunferencia con la recta s, que contiene al punto homólogo del punto de tangencia, forma un ángulo alfa igual al que forma s con la recta, r, figura inversa de la circunferencia.

Puedes hacer la demostración con geogebra como muestran ambos dibujos: inversión positiva e inversión negativa.

7. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA Y A UNA RECTA

Si los ángulos B y B' son iguales el triángulo BRB' es isósceles, sus lados iguales están, uno sobre la tangente t a la circunferencia en B, y el otro sobre la recta r inversa de la circuferencia O1.

O2, tangente a los lados del triángulo en B y B' lo será a la circunferencia dada, O1, y a su recta inversa, r.

Los puntos de tangencia de la circunferencia tangente a otra dada y a una recta son homólogos en la inversión que liga a la circunferencia dada y a la recta. 

Por este procedimiento pueden resolverse de forma rápida, los problemas de tangencia siguientes resueltos por potencia:

• 5. Circunferencias tangentes a otra y a una recta, dado el punto de tangencia sobre la recta.
• 6. Circunferencia tangente a otra en un punto de ella y a una recta dada.

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Además, la circunferencia O2 es inversa de sí misma, ya que pasa por dos puntos B, B' homólogolos en la inversión, con lo que cualquier punto P, de O2 tiene su inverso P' en ella misma y alineado con el centro de inversión, O.

8. CIRCUNFERENCIA QUE ES TANGENTE A OTRA, A UNA RECTA Y PASA POR UN PUNTO

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Si P, pertenece a O2 su homólogo pertenece tambien a O2 y está alineado con con P y el centro O' de inversión. Como además, P y P' son concíclicos con otro par de puntos homólogos, A y A', por tanto, la circunferencia que contiane a A A' y P contiene a P'.

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9. CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTES A OTRA DADA Y A UNA RECTA.

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Este caso, se resuelve con dos soluciones por inversión positiva y otras dos con inversión negativa. El problema tiene un total de cuatro soluciones. Veamos los pasos por inversión positiva de las dos primeras:

1. Determinar el centro de inversión positiva O' y los homólogos A A'.
2. Encontrar el homólogo de P con ayuda de la circunferencia que pasa por AA'P.
3. Trazar las circunferencias O2 y O3 que pasan por dos puntos P P', y son tangentes a r (Ver ejercicio nº 2 por potencia).

Ahora, las dos soluciones por inversión negativa:

Ver en geogebra

1. Determinar el centro de inversión negativa O y los homólogos A A'.
2. Encontrar el homólogo de P con ayuda de la circunferencia que pasa por AA'P.
3. Trazar las circunferencias O2 y O3 que pasan por dos puntos P P', y son tangentes a r (Ver ejercicio nº 2 por potencia).

9.1 SEGUNDO MÉTODO

También se puede resolver este problema tomando como centro de inversión el punto P. Transformando la circunferencia dada en inversa de sí misma y hallando la circunferencia inversa de la recta dada.
Si atendemos a la propiedad explicada más arriba donde se conservan los ángulos en la inversión, las circunferencias solución son inversas de las rectas tangentes comunes a la circunferencia dada y a la circunferencia inversa de la recta que hayamos. El problema así planteado nos ofrece cuatro soluciones mediante una sola inversión. Se siguen los siguientes pasos:

1. Hallamos la circunferencia inversa de la recta.
2. Se trazan las tangentes exteriores e interiores a las dos circunferencias determinando los puntos de tangencia.
3. Se dibujan los inversos de los puntos de tangencia hallados contenidos en la circunferencia dada que es inversa de sí misma. Estos puntos de tangencia pertenecen a las soluciones buscadas. Ver en Geogebra

9.2. EJERCICIOS

• CRP Resuelto de otro modo en Circulandia

10. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA Y A DOS CIRCUNFERENCIAS

En su caso general, este problema tiene ocho soluciones.

Aplicamos el método gráfico de sumar y restar datos para reducir elementos y poder resolver el problema por medio de un caso ya resuelto (ejercicio nº 8). Para ello, trazamos rectas paralelas a r a una distancia igual al radio de la circunferencia menor, y hacemos lo mismo con la circunferencia mayor. Para simplificar el problema operamos solo con r' y O'.

Ahora estamos en el caso anterior:

1. Determinar el centro de inversión negativa o positiva O y los homólogos A A'.
2. Encontrar el homólogo de P con ayuda de la circunferencia que pasa por AA'P.
3. Trazar las circunferencias O2 y O3 que pasan por dos puntos P P', y son tangentes a r (Ver ejercicio nº 2 por potencia).
4. Volviendo al radio origen podemos dibujar dos de las soluciones buscadas.

Estudiemos el problema a través de los trabajos realizados por otros profesores:

•  los problemas resueltos (CCR) y de la presentación elaborada por el profesor Gonzalo Avella:

Rcc from gonzalo arratibel

• Por Luis Pérez, veamos aquí uno de los casos.
• Por dibujo técnico.com
• Un caso particular por Jose Ángel Suarez

11. CIRCUNFERENCIAS INVERSAS

Ver Geogebra

Dadas dos circunferencias, si se determina su centro de homotecia correspondiente (de razón positiva o negativa), y se permutan los puntos homólogos, tenemos que:
OA/OB' = OB/OA'

OA . OA' = OB . OB' = K

Los que demuestra que dos circunferencias (no tangentes, ni concéntricas) son inversas con centros de inversión coincidentes con los de la homotecia.

Multiplicando los miembros de la igualdad, resulta:

OA . OA' . OB . OB' = K2 (cuadrado)

Pero,
OA . OB  = OT2  y  OA' . OB' = OT'2
Sustituyendo,
OT2  . OT'2 = K2,

OT . OT' = K

Es decir, que los puntos de tangencia de las tangentes comunes (exteriores o interiores) son homólogolos en la inversión (positiva o negativa) que liga a las circunferencias.

Ver en Geogebra

12. TANGENTES EN PUNTOS HOMÓLOGOS DE DOS CIRCUNFERENCIAS.

Ver en Geogebra

En la inversión de dos circunferencias las rectas tangentes en puntos homólogos, forman el mismo ángulo con las rectas que unen dichos puntos con el centro de inversión.

De lo que se deduce que:

• En la inversión se conservan los ángulos.

• Las tangentes a dos circunferencias en puntos homólogos, en la inversión, se cortan en el eje radical de las circunferencias.

Pasará lo mismo en la inversión negativa. Os dejo a vosotros que lo comprobéis con el dibujo pertinente.

13. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRAS DOS INVERSAS

Ver en geogebra

Puesto que los triángulos BRB' y AR1A' son isósceles, prolongando los radios de las circunferencias O1 y O2 que pasan por los puntos homólogos B B' (AA'), se determinan los centros O3 y O4 de circunferencias tangentes a las inversas O1 y O2.

Pasaría lo mismo en la inversión negativa. Os animo a que hagáis vosotros el dibujo.

Por tanto,
Por puntos homólogos en la inversión de dos circunferencias pasan circunferencias tangentes a ellas. Además estas circunferencias son inversas de sí mismas.

14. INTERSECCIONES DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRAS DOS INVERSAS

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Siendo O3 y O4 inversas de sí mismas. Si tomamos el punto P de la intersección entre ellas, debe cumplirse, tanto en uno como en otra:

OA . OA' = OB . OB' = PO . OP' = K

Lo que demuestra que el otro punto de intersección, P', está alineado con P y O, en definitiva es el inverso de P y convierte a la circunferencia O1 en la O2. 

Por tanto:

Los puntos de intersección entre dos circunferencias, tangentes a otras dos dadas, son homólogos en las inversiones que ligan a las dos circunferencias dadas.

Esto sucede en la inversión positiva, como vemos en la imagen, como en la negativa, que espero hagáis el dibujo para comprobarlo.

15. DADAS DOS CIRCUNFERENCIAS Y UN PUNTO, TRAZAR LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A LAS DADAS QUE PASAN POR EL PUNTO.

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Dos soluciones por inversión positiva:

1. El centro de inversión positiva se encontrará al trazar las tangentes exteriores a las circunferencias dadas en T1 y T2.
2. Hallamos el homólogo de P por medio de una circunferencia auxiliar que pasa por P, T1 y T2, por ser puntos concíclicos y T1 y T2 homólogos. Las circunferencias buscadas pasarán por P y P'.
3. Determinar las circunferencias que pasan por dos puntos P y P' y son tangentes a una de ellas, por ejemplo a O2 (Problema nº 4 de tangencias resueltas por potencia).

Para resolver esta última parte se ha utilizado como circunferencia auxiliar la P T1 T2 P', ya secante a las dadas. Hemos hallado los puntos de tangencia T1'' y T2'' sobre la circunferencia mayor, con la intención de disminuir los errores propios del dibujo, que serían mayores utilizando la circunferencia pequeña.

Los puntos de tangencia T1' y T2' sobre la circunferencia O1, son inmediatos, pues son inversos de T1'' y T2''.

Dos soluciones por inversión negativa:

Os animo a realizar el problema con Geogebra.

15.1 SEGUNDO PROCEDIMIENTO

También se puede resolver el problema tomando como centro de inversión el punto P y transformando la circunferencia O2 en inversa de sí misma y la otra en inversa de de O1' con la misma potencia de inversión, PT.

Recordando que los ángulos se conservan en la inversión, las circunferencias solución son las inversas de las rectas tangentes comunes a O1' y O2. Con este procedimiento obtenemos las cuatro soluciones mediante una sola inversión.

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Observa cómo se han obtenido O1' determinando primero T1':

PT1.PT′1=PT2

PT′1=PA 

Siendo A' el homólogo de A
Vemos que:

PA⋅PA′=PT2

Con lo cual,

       PA′=PT′1

Se han trazado solo una recta tangente exterior y otra interior a O1 y O1' para no complicar la construcción. Los puntos de tangencias T1''' y T3''' se obtienen de los inversos correspondientes alineados con P,  T1'' y T3'' y sobre la circunferencia inversa de sí misma.

15.2 EJERCICIOS

• CCP en circunlandia. Resuelto por inversión negativa.
• Dadas dos circunferencias y un punto de tangencia sobre una ellas trazar las circunferencias tangentes.

16. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRAS TRES DADAS.

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Este caso también se conoce como el problema de Apolonio. 

Aplicando las dilataciones, a fin de reducir una de ellas a un punto, se resulve el problema reduciéndolo al caso anterior. En el caso general se obtienen ocho soluciones:

• Centro de homotecia directo Hd, y diferencia de radios (R”’-R’ y R”-R’). Dos soluciones. FIG. 39.
• Centro de homotecia directo Hd, y suma de radios (R”’+R’ y R”+R’). Dos soluciones.
• Centro de homotecia inverso Hi, sumando a O”’ y restando a O” el radio R’. (R”’+R’ y R”-R’). Dos soluciones.
• Centro de homotecia inverso Hi, restando a O”’ y sumando a O” el radio R’. (R”’-R’ y R”+R’). Dos soluciones.

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La tangencia entre circunferencias se conserva si sus radios varían en cantidades iguales. 

Una circunferencia solución (en rosa) se debe reducir o ampliar junto con las circunferencias que sean tangentes interiormente (la circunferencia negra de la derecha), mientras que las circunferencias tangentes exteriormente (las dos circunferencias negras de la izquierda) hacen la transformación contraria.

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Una pareja de soluciones conjugadas del problema de Apolonio (circunferencias en rosa), donde las circunferencias negras son las dadas.

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Las dos rectas tangentes de los dos puntos de tangencia de una circunferencia dada intersecan al eje radical R (recta roja) de las dos circunferencias soluciones (en rosa). Los tres puntos de intersección sobre I son los polos de las rectas que unen los puntos de tangencia azules en cada circunferencia dada (en negro).

Veamos el vídeo que nos prepara el profesor Juan Carlos García:

16.1 EJERCICIOS

• CCC parte 1/4
• CCC parte 2/4 en Circulandia
• CCC parte 3/4
• CCC parte 4/4
• CCC tangentes entre sí.
• CCC intersecan en un punto.
• CCC intersecan las tres
• CCC Con dos de ellas tangentes por inversión.

 Hay otros vídeos y otras explicaciones que te pueden servir de ayuda:

16. 2 VÍDEOS:

• Educale.com
• Math Educando

16.3 ARTÍCULOS:

• Los problemas de Apolonio en la revista Suma.
• El beso de Frederick Soddy 
• Los 10 problemas de Apolonio en Piziadas

17. EJERCICIOS

• Los problemas de Apolonio en la web uno618
• Los problemas de Apolonio en la web de Gonzalo Abella.
• Tangencias guitarra
• Problema de tangencias. Cuadrado tangente a 4 circunferencias.
• Ejercicio de enlace en Circulandia.
• Figura mediante enlaces. Circunlandia
• Enlazar Puntos
• Enlace con elipse